高等数学

本文介绍高等数学
目录
函数
极限
导数
微分
不定积分
定积分
微分方程
多元函数微分法及其应用
二重积分
零散知识点

1. 函数
   • 基本概念
   （1）设数集D⊂RD⊂R，称映射f:D→Rf:D→R为定义在D上的函数，通常简记为y=f(x),x∈Dy=f(x),x∈D，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记做DfDf，即Df=DDf=D，函数值f(x)的所构成的集合称为函数f的值域，记做RfRf，Rf=f(D)={y|y=f(x),x∈D}Rf=f(D)={y|y=f(x),x∈D}
   （2）构成函数的要数是定义域DfDf和对应法则f，两者都相同函数才相同
   • 函数的基本表示方法
   ○ 表格法
   ○ 图形法，将函数表示成坐标平面上的点集 {P(x,y)|y=f(x),x∈D}{P(x,y)|y=f(x),x∈D}
   ○ 解析法（公式法）
   • 分段函数
   ○ 绝对值函数

y=|x|={−x,x<0x,x≥0y=|x|={−x,x<0x,x≥0
○ 符号函数

y=sgnx=⎧⎩⎨−1,x<00,x=01,x>0y=sgnx={−1,x<00,x=01,x>0
○ 取整函数
记做 [x]，表示不超过x的最大值，[π]=3,[−π]=−4[π]=3,[−π]=−4
○ 狄利克雷函数

D(x)={1,x∈Q0,x∈QcD(x)={1,x∈Q0,x∈Qc
任何正有理数都是它的周期，且不存在最小正周期
• 函数的几种特性
○ 函数的有界性
（1）函数在数集X上有定义，如果存在数K1K1，使得 f(x)≤K1f(x)≤K1对于任意x∈Xx∈X都成立，那么函数在X上有上界
（2）如果存在K2K2，使得f(x)≥K2f(x)≥K2对于任意x∈Xx∈X都成立，那么函数在X上有下界
（3）如果存在MM，使得|f(x)|≥M|f(x)|≥M对于任意x∈Xx∈X都成立，那么函数在X上有界，如果这样的MM不存在，则函数无界
（4）函数有界的充分必要条件，在X上既有上界又有下界
○ 函数的单调性
设函数f(x)f(x)的定义域D，区间I⊂DI⊂D，如果对于区间II上任意两点x1x1和x2x2，当x1<x2x1<x2时，横有f(x1)>f(x2)f(x1)>f(x2)，称函数在区间II上单调减少，如果对于区间II上任意两点x1x1和x2x2，当x1<x2x1<x2时，横有f(x1)<f(x2)f(x1)<f(x2)，称函数在区间II上单调增加，单调增加和单调减少的函数都是单调函数
○ 函数的奇偶性
（1）设函数f(x)f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈D,f(−x)=f(x)x∈D,f(−x)=f(x)恒成立，那么f(x)为偶函数<，如果对于任意x∈D,f(−x)=−f(x)x∈D,f(−x)=−f(x)恒成立，那么f(x)为奇函数
（2）偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称
（3）函数f(x)f(x)，必定是偶函数和奇函数的和，f(x)=12[f(x)+f(−x)]+12[f(x)−f(−x)]f(x)=12[f(x)+f(−x)]+12[f(x)−f(−x)]
○ 函数的周期性
设函数f(x)f(x)的定义域D，如果存在一个正数ll，使得对于任意x∈Dx∈D, 有(x±l)∈D(x±l)∈D且f(x+l)=f(x)f(x+l)=f(x)恒成立，称f(x)为周期函数，ll称为f(x)的周期，一般指最小正周期
• 反函数
（1）对每个y∈f(D)y∈f(D)，由y=f(x)y=f(x)可以唯一确定的x∈Dx∈D，这样在f(D)f(D)上定义了一个函数，称为y=f(x)y=f(x)的反函数，记为x=f−1(y)x=f−1(y)，一般描述成y=f−1(x),x∈f(D)y=f−1(x),x∈f(D)
（2）若直接函数y=f(x)y=f(x)是单调的，那么反函数y=f−1(x)y=f−1(x)也是单调的并且单调性和原函数相同，并且关于y=f(x)y=f(x)对称
• 复合函数
设函数y=f(u)y=f(u)定义域为DfDf，函数u=g(x)u=g(x)定义域为DgDg，值域为RgRg并且Rg⊂DfRg⊂Df，函数y=f[g(x)],x∈Dgy=f[g(x)],x∈Dg称为由函数y=f(u),u=g(x)y=f(u),u=g(x)构成的复合函数，变量u称为中间变量，简记为(f∘g)(x)=f[g(x)](f∘g)(x)=f[g(x)]
• 隐函数
x和y之间的映射关系由方程F(x,y)=0F(x,y)=0确定，方程确定一个隐函数，此隐函数不一定能求出
• 参数方程表示的函数
yy与xx之间的函数关系由参数方程确定

{x=φ(t)y=ψ(t){x=φ(t)y=ψ(t)
• 初等函数
○ 基本初等函数
（1）幂函数 y=xμy=xμ（μ∈Rμ∈R是常数）
（2）指数函数 y=axy=ax（a>0a>0且a≠1a≠1）
（3）对数函数 y=logaxy=logax（a>0a>0且a≠1a≠1，当a=ea=e时，y=lnxy=lnx）
（4）三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tanxy=sinx,y=cosx,y=tanx
（5）反三角函数 y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanxy=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx
○ 初等函数
由常数和基本初等函数复合而成的函数叫做初等函数
2. 极限
• 数列的极限
（1）设{xn}{xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数εε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|xn−a|<ε|xn−a|<ε恒成立，那么就称常数a是数列{xn}{xn}的极限，或者称收敛于a，记为limx→∞xn=alimx→∞xn=a，或者xn→a(n→∞)xn→a(n→∞)
（2）定义简写表达 limn→∞xn=a⇔∀ε>0,∃limn→∞xn=a⇔∀ε>0,∃正整数NN，当n>Nn>N时，有|xn−a|<ε|xn−a|<ε
• 收敛数列的性质
○ 极限唯一性：如果数列{xn}{xn}收敛，那么它的极限唯一
○ 收敛数列的有界性：如果数列{xn}{xn}收敛，那么数列{xn}{xn}一定有界
○ 收敛数列的保号性：如果limx→∞xn=alimx→∞xn=a，且a>0a>0（或a<0a<0），那么存在正整数N，当 n>Nn>N时，都有 xn>0xn>0（或xn<0xn<0）
○ 推论：如果数列{xn}{xn}从某项起有xn≥0xn≥0（或者xn≤0xn≤0），且limx→∞xn=alimx→∞xn=a，那么a≥0a≥0（或a≤0a≤0）
• 函数的极限
○ 趋于某一点的极限
（1）设函数f(x)f(x)在点x0x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数εε（无论它多么小），总存在正数σσ，使得当x满足不等式 0<|x−x0|<σ0<|x−x0|<σ，对应的函数值f(x)f(x)都满足不等式|f(x)−A|<ε|f(x)−A|<ε，那么常数A就叫做函数，f(x)f(x)当x→x0x→x0时的极限，记做limx→x0f(x)=Alimx→x0f(x)=A 或者 f(x)→Af(x)→A（当x→x0x→x0）
（2）定义简写表达 limx→x0f(x)=A⇔∀ε>0,∃σ>0limx→x0f(x)=A⇔∀ε>0,∃σ>0，当0<|x−x0|<σ0<|x−x0|<σ时，有|f(x)−A|<ε|f(x)−A|<ε
（3）单侧极限：左极限limx→x−0f(x)=Alimx→x0−f(x)=A，右极限limx→x+0f(x)=Alimx→x0+f(x)=A
（4）函数极限存在的充分必要条件：左极限和右极限都存在并且相等，f(x−0)=f(x+0)f(x0−)=f(x0+)
○ 趋于无穷的极限
（1）设函数f(x)f(x)当|x||x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数εε（无论它多么小），总存在正数XX，使得当x满足不等式|x|>X|x|>X时，对应的函数值f(x)f(x)都满足不等式|f(x)−A|<ε|f(x)−A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)f(x)当x→∞x→∞时的极限，记作limx→∞f(x)=Alimx→∞f(x)=A 或者 f(x)→Af(x)→A（当x→∞x→∞）
（2）定义简写表达 limx→∞f(x)=A⇔∀ε>0,∃X>0limx→∞f(x)=A⇔∀ε>0,∃X>0，当|x|>X|x|>X时，有|f(x)−A|<ε|f(x)−A|<ε
• 函数极限的性质
○ 函数极限的唯一性：如果limx→x0f(x)limx→x0f(x)存在，那么这个极限唯一
○ 函数极限的局部有界性：如果limx→x0f(x)=Alimx→x0f(x)=A，那么存在常数M>0M>0和σ>0σ>0，使得当0<|x−x0|<σ0<|x−x0|<σ时，有|f(x)|≤M|f(x)|≤M
○ 函数极限的局部保号性，如果limx→x0f(x)=Alimx→x0f(x)=A且A>0A>0（或A<0A<0），那么存在常数σ>0σ>0，使得当0<|x−x0|<σ0<|x−x0|<σ，有f(x)>0f(x)>0（或f(x)<0f(x)<0）
○ 推论：如果limx→x0f(x)=A(A≠0)limx→x0f(x)=A(A≠0)，当xεU˚(x0)xεU˚(x0)，有|f(x)|>|A|2|f(x)|>|A|2
○ 推论：如果在U˚(x0)U˚(x0)内f(x)≥0f(x)≥0（或f(x)≤0f(x)≤0），且limx→x0f(x)=Alimx→x0f(x)=A，那么A≥0A≥0（或A≤0A≤0）
• 无穷小和无穷大
○ 无穷小
（1）如果函数f(x)f(x)当x→x0x→x0（或x→∞x→∞）时的极限为零，那么称函数f(x)f(x)为当x→x0x→x0（或x→∞x→∞）时的无穷小，
（2）在自变量的同一变化过程x→x0x→x0（或x→∞x→∞）中，函数f(x)f(x)具有极限AA的充分必要条件是f(x)=A+αf(x)=A+α，其中αα是无穷小
○ 无穷大
（1）设函数f(x)f(x)在U˚(x0)U˚(x0)内有定义（或|x||x|大于某一正数时有定义），如果对于给定的任意正数MM（无论多大），总存在正数δδ（或正数X），只要xx适合不等式0<|x−x0|<δ0<|x−x0|<δ（或|x|>X|x|>X），对应的函数值f(x)f(x)，总满足不等式|f(x)|>M|f(x)|>M,那么称函数f(x)f(x)是当x→x0x→x0（或x→∞x→∞）时的无穷大，记做limx→x0f(x)=∞limx→x0f(x)=∞（或limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞）
（2）在自变量的同一变化过程中，如果f(x)f(x)为无穷大，那么1f(x)1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)f(x)为无穷小且不为零，那么1f(x)1f(x)为无穷大
（3）因为无界的定义中要求在0<|x−x0|<δ0<|x−x0|<δ只要有一个点大于任何一个数就无界，所以无穷大一定无界，无界不一定无穷大
• 极限运算法则
○ 两个无穷小的和是无穷小
○ 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
（1）推论1：常数个无穷小的乘积是无穷小
（2）推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小.例子：limx→∞sinxx=0limx→∞sinxx=0
○ 如果limf(x)=A,limg(x)=Blimf(x)=A,limg(x)=B，有如下成立
（1）lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±Blim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B
（2）lim[f(x)∙g(x)]=limf(x)∙limg(x)=A∙Blim[f(x)∙g(x)]=limf(x)∙limg(x)=A∙B
（3）limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=ABlimf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB，B≠0B≠0
（4）推论：lim[cf(x)]=climf(x)lim[cf(x)]=climf(x)，c为常数
（5）推论：lim[f(x)]n=[limf(x)]nlim[f(x)]n=[limf(x)]n，n为常数
○ 数列{xn},{yn}{xn},{yn}，如果limx→∞xn=A,limx→∞yn=Blimx→∞xn=A,limx→∞yn=B，那么
（1）limx→∞(xn±yn)=A±Blimx→∞(xn±yn)=A±B
（2）limx→∞(xn∙yn)=A∙Blimx→∞(xn∙yn)=A∙B
（3）limx→∞xnyn=ABlimx→∞xnyn=AB，yn≠0,B≠0yn≠0,B≠0
○ 如果φ(x)≥ψ(x)φ(x)≥ψ(x)，而limφ(x)=A,limψ(x)=Blimφ(x)=A,limψ(x)=B，那么A≥BA≥B
○ 复合函数的极限运算法则
设函数y=f[g(x)]y=f[g(x)]在U˚(x0)U˚(x0)上有定义，由函数u=g(x),y=f(u)u=g(x),y=f(u)复合而成，若limx→x0g(x)=u0,limu→u0f(u)=Alimx→x0g(x)=u0,limu→u0f(u)=A，且存在δ0>0δ0>0，当x∈U˚(x0,δ0)x∈U˚(x0,δ0)时，有

g(x)≠u0g(x)≠u0，则limx→x0f[g(x)]=limu→u0f[u]=Alimx→x0f[g(x)]=limu→u0f[u]=A
• 极限存在的准则和两个重要极限
○ 夹逼准则
（1）如果数列{xn},{yn},{zn}{xn},{yn},{zn}满足，∃n0∈N+∃n0∈N+，当n>n0n>n0时，有yn≤xn≤znyn≤xn≤zn并且limn→∞yn=a,limn→∞zn=alimn→∞yn=a,limn→∞zn=a则，limn→∞xn=alimn→∞xn=a
（2）如果当x∈U˚(x0,r)x∈U˚(x0,r)（或|x|>M|x|>M）时，g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)≤f(x)≤h(x)并且limx→x0g(x)=Alimx→x0g(x)=A（或limx→∞g(x)=Alimx→∞g(x)=A）, limx→x0h(x)=Alimx→x0h(x)=A（或limx→∞h(x)=Alimx→∞h(x)=A）则，limx→x0f(x)=Alimx→x0f(x)=A（或limx→∞f(x)=Alimx→∞f(x)=A）
○ 单调有界准则
（1）单调有界数列必有极限
（2）设函数f(x)f(x)在点x0x0的某个左邻域内单调并且有界，则f(x)f(x)在x0x0的左极限f(x−0)f(x0−)必定存在
（3）柯西极限存在准则（柯西审敛原理）：数列收敛的充分必要条件，对于任意给定的正数εε，存在正整数NN，使得当m>N,n>Nm>N,n>N时，有|xn−xm|<ε|xn−xm|<ε
○ 两个重要极限
（1）limx→0sinxx=1limx→0sinxx=1
（2）limx→∞(1+1x)x=elimx→∞(1+1x)x=e，由复合函数的极限可得，limz→0(1+z)1z=elimz→0(1+z)1z=e
• 无穷小的比较
○ 基本概念
（1）如果limβα=0limβα=0，那么ββ是比αα高阶的无穷小，记做β=o(α)β=o(α)
（2）如果limβα=∞limβα=∞，那么ββ是比αα低阶的无穷小
（3）如果limβα=c≠0limβα=c≠0，那么ββ与αα是同阶无穷小
（4）如果limβαk=c≠0,k>0limβαk=c≠0,k>0，那么ββ是αα的kk阶无穷小
（5）如果limβα=1limβα=1，那么ββ与αα是等价无穷小，记做β∼αβ∼α
○ 等价无穷小的性质
（1）ββ与αα是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o(α)β=α+o(α)
（2）常见的等价无穷小 x→0,sinx∼x,tanx∼x,arcsinx∼x,ln(1+x)∼x,arctanx∼x,1−cosx∼12x2,ex−1∼x,(1+x)a−1∼ax,x−sinx∼16x3,sinx−sin(sinx)∼16x3,arcsinx−x∼16x3,x−tanx∼−13x3,arctanx−x∼−13x3,x−ln(1+x)∼12x2,ax−1∼xlna;x→1,lnx∼x−1x→0,sinx∼x,tanx∼x,arcsinx∼x,ln(1+x)∼x,arctanx∼x,1−cosx∼12x2,ex−1∼x,(1+x)a−1∼ax,x−sinx∼16x3,sinx−sin(sinx)∼16x3,arcsinx−x∼16x3,x−tanx∼−13x3,arctanx−x∼−13x3,x−ln(1+x)∼12x2,ax−1∼xlna;x→1,lnx∼x−1，这些等价无穷小之间的相互组合可以得到更多的等价无穷小
○ 等价无穷小替换求极限
设α∼α~,β∼β~α∼α~,β∼β~，且limβ~α~limβ~α~存在，则limβα=limβ~α~limβα=limβ~α~
• 函数的连续性
○ 连续的概念
（1）设函数y=f(x)y=f(x)在点x0x0的某一邻域内有定义，如果limΔx→0Δy=limΔx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0limΔx→0Δy=limΔx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0，那么就称函数y=f(x)y=f(x)在点x0x0连续
（2）设函数y=f(x)y=f(x)在点x0x0的某一邻域内有定义，如果limx→x0f(x)=f(x0)limx→x0f(x)=f(x0)，那么就称函数y=f(x)y=f(x)在点x0x0连续，在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数
（3）f(x)f(x)在点x0x0连续⇔∀ε>0,∃σ>0⇔∀ε>0,∃σ>0，当|x−x0|<σ|x−x0|<σ时，有|f(x)−f(x0)|<ε|f(x)−f(x0)|<ε
○ 单侧连续
（1）limx→x−0f(x)=f(x−0)limx→x0−f(x)=f(x0−)存在且等于f(x0)f(x0)，即f(x−0)=f(x0)f(x0−)=f(x0)，称f(x)f(x)在点x0x0左连续
（2）limx→x+0f(x)=f(x+0)limx→x0+f(x)=f(x0+)存在且等于f(x0)f(x0)，即f(x+0)=f(x0)f(x0+)=f(x0)，称f(x)f(x)在点x0x0右连续
• 函数的间断点
○ 定义
设函数f(x)f(x)在点x0x0的某去心邻域内有定义，满足下列情形之一的称点x0x0为函数的不连续点或间断点

（1）在x=x0x=x0没有定义
（2）在x=x0x=x0有定义，但limx→x0f(x)limx→x0f(x)不存在
（3）在x=x0x=x0有定义，limx→x0f(x)limx→x0f(x)存在，但limx→x0f(x)≠f(x0)limx→x0f(x)≠f(x0)
○ 间断点分类
（1）第一类间断点，左极限f(x−0)f(x0−)和右极限f(x+0)f(x0+)都存在的间断点
** 可去间断点：左极限f(x−0)f(x0−)和右极限f(x+0)f(x0+)都存在，并且相等
** 跳跃间断点：左极限f(x−0)f(x0−)和右极限f(x+0)f(x0+)都存在，但是不等
（2）第二类间断点，除了第一类间断点外都是第二类间断点.
** 无穷间断点：左极限f(x−0)f(x0−)和右极限f(x+0)f(x0+)都不存在，如limx→π2tanx=∞limx→π2tanx=∞
** 震荡间断点：极限limx→x0f(x)limx→x0f(x)在确定的函数值之间变动无限次，如limx→0sin1xlimx→0sin1x
• 连续函数的运算
○ 连续函数的和，差，积，商的连续性
设函数f(x)f(x)和g(x)g(x)在点x0x0连续，则他们之间的四则运算在点x0x0也是连续的
○ 反函数的连续性
如果函数y=f(x)y=f(x)在区间IxIx上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数x=f−1(y)x=f−1(y)也在对应的区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加（或单调减少）且连续
○ 复合函数的连续性
（1）设函数y=f[g(x)]y=f[g(x)]由函数u=g(x)u=g(x)与函数y=f(u)y=f(u)复合而成，U˚(x0)⊂Df∘gU˚(x0)⊂Df∘g，若limx→x0g(x)=u0limx→x0g(x)=u0，而函数y=f(u)y=f(u)在u=u0u=u0连续，则limx→x0y=f[g(x)]=limx→x0f(u)=f(u0)limx→x0y=f[g(x)]=limx→x0f(u)=f(u0)
（2）设函数y=f[g(x)]y=f[g(x)]由函数u=g(x)u=g(x)与函数y=f(u)y=f(u)复合而成，U˚(x0)⊂Df∘gU˚(x0)⊂Df∘g，若函数u=g(x)u=g(x)在x=x0x=x0连续，且g(x0)=u0g(x0)=u0，而函数y=f(u)y=f(u)在u=u0u=u0连续，则复合函数y=f[g(x)]y=f[g(x)]在x=x0x=x0也连续
• 初等函数的连续性
○ 基本初等函数在定义域内都是连续的
○ 一切初等函数在定义域内都是连续的
• 闭区间上连续函数的性质
○ 有界性与最大值最小值定理
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取到它的最大值和最小值
○ 零点定理
设函数f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b]上连续，且f(a)f(a)与f(b)f(b)异号（即f(a)∙f(b)<0f(a)∙f(b)<0），则在开区间(a,b)(a,b)内至少有一点ξξ，使f(ξ)=0f(ξ)=0
○ 介值定理
（1）设函数f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=Af(a)=A及f(b)=Bf(b)=B，则对于AA与BB之间的任意一个数CC，在开区间(a,b)(a,b)内至少存在一点ξξ，使得f(ξ)=C(a<ξ<b)f(ξ)=C(a<ξ<b)
（2）推论：设函数f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b]上连续，值域为[m,M][m,M]，则m和M为f(x)f(x)在[a,b][a,b]上的最小值和最大值
3. 导数
• 导数定义
（1）设函数y=f(x)y=f(x)在点x0x0的某个邻域内有定义，当自变量xx在x0x0处取得增量ΔxΔx，相应地，因变量取得增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)Δy=f(x0+Δx)−f(x0)，如果ΔyΔy与ΔxΔx之比当Δx→0Δx→0时的极限存在，那么称函数y=f(x)y=f(x)在点x0x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)y=f(x)在点x0x0处的导数，记为f′(x0)f′(x0)，即f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx，也可以记做 y′|x=x0,dydx|x=x0,df(x)dx|x=x0y′|x=x0,dydx|x=x0,df(x)dx|x=x0
（2）如果函数在开区间内每一点都可导，这样就构成了导函数，记做 y′,f′(x),dydx,df(x)dxy′,f′(x),dydx,df(x)dx，导函数定义式f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx
（3）f(x)f(x)在点x0x0处可导的充分必要条件是左导数f′−(x0)f−′(x0)和右导数f′+(x0)f+′(x0)都存在且相等，即f′−(x0)=limΔx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′+(x0)=limΔx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δxf−′(x0)=limΔx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f+′(x0)=limΔx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δx
（4）如果函数f(x)f(x)在开区间(a,b)(a,b)内可导，且f′+(a)f+′(a)及f′−(b)f−′(b)都存在，那么就说f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b]上可导
• 导数的几何意义
（1）函数y=f(x)y=f(x)在点x0x0处的导数f′(x0)f′(x0)在几何上表示曲线y=f(x)y=f(x)在点M(x0,f(x0))M(x0,f(x0))处的切线斜率
（2）过切点M(x0,f(x0))M(x0,f(x0))且与切线垂直的直线为点MM处的法线，法线斜率为−1f′(x0)−1f′(x0),法线方程为y−y0=−1f′(x0)(x−x0)y−y0=−1f′(x0)(x−x0)
• 可导的一些结论
（1）奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数
（2）f(x)f(x)可导且以TT为周期，则f′(x)f′(x)也以TT为周期
（3）f(x)f(x)在x=x0x=x0处可导，g(x)g(x)在x=x0x=x0处连续但不可导，则f(x)g(x)f(x)g(x)在x=x0x=x0处可导的冲要条件是f(x0)=0f(x0)=0
• 函数可导性与连续性的关系
（1）如果函数y=f(x)y=f(x)在点xx处可导，那么函数在该点必连续
（2）如果函数y=f(x)y=f(x)在点xx处连续，那么函数在该点不一定可导
• 函数的求导法则
○ 函数的和、差、积、商的求导法则
如果函数u=u(x)u=u(x)及v=v(x)v=v(x)都在点xx具有导数，那么它们的和，差，积，商（分母不为0）都在点xx具有导数，且
（1）[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)
（2）[Cu(x)]′=Cu′(x)[Cu(x)]′=Cu′(x)
（3）[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)
（4）[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)（v(x)≠0v(x)≠0）
○ 反函数的求导法则
如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间，Ix={x|x=f(y),y∈Iy}Ix={x|x=f(y),y∈Iy}内也可导，且[f−1(x)]′=1f′(y)[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdydydx=1dxdy
○ 复合函数的求导法则
如果u=g(x)u=g(x)在点xx可导，而y=f(u)y=f(u)在点u=g(x)u=g(x)可导，那么复合函数y=f[g(x)]y=f[g(x)]在点xx可导，且其导数为，dydx=f′(u)∙g′(x)dydx=f′(u)∙g′(x)或dydx=dydu∙dudxdydx=dydu∙dudx
○ 幂指函数的求导法则
y=f(x)g(x),f(x)>0y=f(x)g(x),f(x)>0其中f(x),g(x)f(x),g(x)可导，可以令y=eg(x)lnf(x)y=eg(x)lnf(x)或者lny=g(x)lnf(x)lny=g(x)lnf(x)求y′y′
○ 常数和基本初等函数的导数公式
（1）(C)′=0(C)′=0
（2）(xμ)′=μxμ−1(xμ)′=μxμ−1
（3）(sinx)′=cosx(sinx)′=cosx
（4）(cosx)′=−sinx(cosx)′=−sinx
（5）(tanx)′=1cos2x=sec2x(tanx)′=1cos2x=sec2x
（6）(cotx)′=−1sin2x=−csc2x(cotx)′=−1sin2x=−csc2x
（7）(secx)′=secxtanx(secx)′=secxtanx
（8）(cscx)′=−cscxcotx(cscx)′=−cscxcotx
（9）(ax)′=axlna(a>0,a≠1)(ax)′=axlna(a>0,a≠1)
（10）(ex)′=ex(ex)′=ex
（11）(logax)′=1xlna(a>0,a≠1)(logax)′=1xlna(a>0,a≠1)
（12）(lnx)′=1x(lnx)′=1x
（13）(arcsinx)′=11−x2−−−−−√(arcsinx)′=11−x2
（14）(arccosx)′=−11−x2−−−−−√(arccosx)′=−11−x2
（15）(arctanx)′=11+x2(arctanx)′=11+x2
（16）(arccotx)′=−11+x2(arccotx)′=−11+x2
• 高阶导数
○ 函数y=f(x)y=f(x)具有nn阶导数，记做dnydxndnydxn
○ 牛顿莱布尼兹公式：(uv)(n)=∑nk=0Cknu(n−k)v(k)(uv)(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)（Ckn=n!k!(n−k)!Cnk=n!k!(n−k)!）
○ 常用的nn阶导数
（1）(ex)(n)=ex(ex)(n)=ex
（2）(sinkx)(n)=knsin(kx+nπ2)(sinkx)(n)=knsin(kx+nπ2)
（3）(coskx)(n)=kncos(kx+nπ2)(coskx)(n)=kncos(kx+nπ2)
（4）(ln(1+x))(n)=(−1)n−1(n−1)!(1+x)n(ln(1+x))(n)=(−1)n−1(n−1)!(1+x)n
（5）(1x+a)n=(−1)nn!(x+a)n+1(1x+a)n=(−1)nn!(x+a)n+1
• 由参数方程确定的函数的导数
参数方程

{x=φ(t)y=ψ(t){x=φ(t)y=ψ(t)
有dydx=dydt∙dtdx=dydt∙1dxdt=ψ′(t)φ′(t)dydx=dydt∙dtdx=dydt∙1dxdt=ψ′(t)φ′(t)
4. 微分
• 微分的定义
（1）设函数y=f(x)y=f(x)在某区间内有定义，x0x0及x0+Δxx0+Δx在这区间内，如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)Δy=f(x0+Δx)−f(x0)，可表示为Δy=AΔx+o(Δx)Δy=AΔx+o(Δx)，其中AA是不依赖于ΔxΔx的常数，那么称函数y=f(x)y=f(x)在点x0x0是可微的，而AΔxAΔx叫做函数y=f(x)y=f(x)在点x0x0相应于自变量增量ΔxΔx的微分，记做dydy，即dy=AΔxdy=AΔx
（2）函数f(x)f(x)在点x0x0可微的充分必要条件是函数f(x)f(x)在点x0x0可导，并且dy=f′(x0)Δxdy=f′(x0)Δx
（3）Δy=dy+o(dy)Δy=dy+o(dy)，其中dydy是ΔyΔy的主部，通常将ΔxΔx称为自变量的微分，记做dxdx，于是函数y=f(x)y=f(x)的微分记作dy=f′(x)dxdy=f′(x)dx，导数也叫作微商
（4）微分形式不变性，无论uu是自变量还是中间变量，微分形式dy=f′(u)dudy=f′(u)du保持不变
• 微分的几何意义
若f(x)f(x)在点x=x0x=x0处可微，则在点(x0,f(x0))(x0,f(x0))附近可以用切线y−y0=f′(x0)(x−x0)y−y0=f′(x0)(x−x0)近似代替曲线f(x)f(x)，也就是局部的以直带曲
• 可导，可微，连续的关系

• 微分中值定理
	○ 费马引理
设函数f(x)f(x)在点x0x0的某邻域U(x0)U(x0)内有定义，并且在点x0x0处可导，如果对任意的x∈U(x0)x∈U(x0)，有f(x)≤f(x0)f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)f(x)≥f(x0)），那么f′(x0)=0f′(x0)=0（导数为零的点称为函数的驻点）
○ 罗尔定理
如果函数f(x)f(x)满足：在闭区间[a,b][a,b]上连续，在开区间(a,b)(a,b)内可导，在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)f(a)=f(b)，那么在(a,b)(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)ξ(a<ξ<b)，使得f′(ξ)=0f′(ξ)=0
○ 拉格朗日中值定理
（1）如果函数f(x)f(x)满足：在闭区间[a,b][a,b]上连续，在开区间(a,b)(a,b)内可导，那么在(a,b)(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)成立
（2）定理变体形式，令θ=ξ−ab−aθ=ξ−ab−a，则拉格朗日中值定理写成f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a),0<θ<1f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a),0<θ<1
○ 拉格朗日中值定理的应用
（1）如果函数f(x)f(x)在区间II上连续，II内可导且导数恒为零，那么f(x)f(x)在区间II上是一个常数
（2）利用拉格朗日定理可以方便的求极限，将两个式子相减看成同一个函数的a,ba,b
○ 柯西中值定理
如果函数f(x)f(x)及F(x)F(x)满足：在闭区间[a,b][a,b]上连续，在开区间(a,b)(a,b)内可导，对任一x∈(a,b),F′(x)≠0x∈(a,b),F′(x)≠0，那么在(a,b)(a,b)内至少有一点ξξ，使等式f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ)f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ)成立
• 洛必达法则
○ 未定式
limf(x)F(x)limf(x)F(x)满足0000或者∞∞∞∞，这种极限叫做未定式，不能使用极限运算法则求解
○ 设：当x→ax→a时，函数f(x)f(x)及F(x)F(x)都趋于零，在点aa的某去心邻域内，f′(x)f′(x)及F′(x)F′(x)都存在且F′(x)≠0F′(x)≠0，limx→af′(x)F′(x)limx→af′(x)F′(x)存在（或为无穷大），则limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)
○ 设：当x→∞x→∞时，函数f(x)f(x)及F(x)F(x)都趋于零，当|x|>N|x|>N时，f′(x)f′(x)及F′(x)F′(x)都存在且F′(x)≠0F′(x)≠0，limx→∞f′(x)F′(x)limx→∞f′(x)F′(x)存在（或为无穷大），则limx→∞f(x)F(x)=limx→∞f′(x)F′(x)limx→∞f(x)F(x)=limx→∞f′(x)F′(x)
○ 注意
（1）当limx→∞f′(x)F′(x)limx→∞f′(x)F′(x)不存在时，limx→∞f(x)F(x)limx→∞f(x)F(x)仍可能存在
（2）广义洛必达法则：∞∞∞∞型的极限，只要分母是∞∞即可
• 泰勒公式
○ 带佩亚诺余项的泰勒展开式
（1）如果函数f(x)f(x)在x0x0处具有nn阶导数，那么存在x0x0的一个邻域，对于该邻域内的任一xx，有f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+...+fn(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+...+fn(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)，其中Rn(x)=o((x−x0)n)Rn(x)=o((x−x0)n)称为佩亚诺余项
（2）如果取x0=0x0=0那么上式为，带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，f(x)=f(0)+f′(0)x+...+fn(0)n!xn+o(xn)f(x)=f(0)+f′(0)x+...+fn(0)n!xn+o(xn)
○ 带拉格朗日余项的泰勒展开式
（1）如果函数f(x)f(x)在点x0x0的某个邻域U(x0)U(x0)内具有(n+1)(n+1)阶导数，那么对任一x∈U(x0)x∈U(x0)，有f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+...+fn(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+...+fn(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)，其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1，称为拉格朗日余项，这里的ξξ是x0x0与xx之间的某个值，当n等于零，此带有拉格朗日余项的nn阶泰勒公式，就成了拉格朗日中值公式
（2）如果取x0=0x0=0那么上式为，带有拉格朗日余项的麦克劳林公式，f(x)=f(0)+f′(0)x+...+fn(0)n!xn+f(n+1)(ξ)(n+1)!xn+1(0<ξ<x)f(x)=f(0)+f′(0)x+...+fn(0)n!xn+f(n+1)(ξ)(n+1)!xn+1(0<ξ<x)
• 初等函数常用泰勒展开式（x0→0x0→0）
○ ex=1+x+12!x2+13!x3+o(x3)ex=1+x+12!x2+13!x3+o(x3)
○ sinx=x−13!x3+o(x3)sinx=x−13!x3+o(x3)
○ cosx=1−12!x2+14!x4+o(x4)cosx=1−12!x2+14!x4+o(x4)
○ ln(1+x)=x−12x2+13x3+o(x2)ln(1+x)=x−12x2+13x3+o(x2)
○ (1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+o(x2)(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+o(x2)
• 函数单调性与曲线的凹凸性
○ 函数单调性判定法
（1）设函数y=f(x)y=f(x)在[a,b][a,b]上连续，在(a,b)(a,b)内可导，如果在(a,b)(a,b)内f′(x)≥0f′(x)≥0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)y=f(x)在[a,b][a,b]上单调增加，如果在(a,b)(a,b)内f′(x)≤0f′(x)≤0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)y=f(x)在[a,b][a,b]上单调减少
（2）用函数的驻点和导数不存在的点来划分函数f(x)f(x)的定义区间，就可以得到函数在每个部分区间的单调性
○ 曲线的凹凸性
设f(x)f(x)在区间II上连续，如果对II上任意两点x1,x2x1,x2，恒有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2那么称f(x)f(x)在II上的图形是（向上）凹的（或凹弧），恒有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2那么称f(x)f(x)在II上的图形是（向上）凸的（或凸弧）
○ 曲线的拐点
曲线y=f(x)y=f(x)在经过点(x0,f(x0))(x0,f(x0))时凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))(x0,f(x0))为曲线的拐点
○ 曲线拐点的判定法则（二阶导）
设f(x)f(x)在[a,b][a,b]上连续，在(a,b)(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，若在(a,b)(a,b)内f′′(x)>0f″(x)>0，则f(x)f(x)在[a,b][a,b]上的图形是凹的，若在(a,b)(a,b)内f′′(x)<0f″(x)<0，则f(x)f(x)在[a,b][a,b]上的图形是凸的
○ 曲线拐点的判定法则（三阶导）
设f(x)f(x)在x0x0处三阶可导，且f′′(x0)=0,f′′′(x0)≠0f″(x0)=0,f‴(x0)≠0，则(x0,f(x0))(x0,f(x0))为曲线的拐点
○ 曲线拐点的判定法则（nn阶导）
设函数f(x)f(x)在x0x0处nn阶可导，且f′(x0)=f′′(x0)=⋯=f(n−1)(x0),f(n)(x0)≠0f′(x0)=f″(x0)=⋯=f(n−1)(x0),f(n)(x0)≠0，其中nn是奇数，则(x0,f(x0))(x0,f(x0))是拐点
○ 求解拐点的步骤
（1）求f′′(x)f″(x)
（2）令f′′(x)=0f″(x)=0，解出方程在区间II内的实根，并求出在区间II内f′′(x)f″(x)不存在的点
（3）检查上面求出的实根和二阶导不存在的点x0x0，f′′(x)f″(x)在x0x0左右邻近的符号，如果相反则是拐点，否则不是
• 函数的极值与最大值最小值
○ 函数极值
（1）设函数f(x)f(x)在点x0x0的某邻域U(x0)U(x0)内有定义，如果对于去心邻域U˚(x0)U˚(x0)内任一xx，有f(x)<f(x0)f(x)<f(x0)（或f(x)>f(x0)f(x)>f(x0)）那么就称f(x0)f(x0)是函数f(x)f(x)的一个极大值（或极小值）
（2）设函数f(x)f(x)在x0x0处可导，且在x0x0处取得极值，则f′(x0)=0f′(x0)=0
○ 极值的判定法则（一阶导）
设函数f(x)f(x)在x0x0处连续，且在x0x0的某去心邻域U˚(x0,δ)U˚(x0,δ)内可导
（1）若x∈(x0−δ,x0)x∈(x0−δ,x0)时，f′(x)>0f′(x)>0，而x∈(x0,x0+δ)x∈(x0,x0+δ)时，f′(x)<0f′(x)<0，则f(x)f(x)在x0x0处取得极大值
（2）若x∈(x0−δ,x0)x∈(x0−δ,x0)时，f′(x)<0f′(x)<0，而x∈(x0,x0+δ)x∈(x0,x0+δ)时，f′(x)>0f′(x)>0，则f(x)f(x)在x0x0处取得极小值
（3）若x∈U˚(x0,δ)x∈U˚(x0,δ)时，f′(x)f′(x)的符号保持不变，则f(x)f(x)在x0x0处没有极值
○ 极值的判定法则（二阶导）
设函数f(x)f(x)在x0x0处具有二阶导数且f′(x0)=0f′(x0)=0，f′′(x0)≠0f″(x0)≠0，则
（1）当f′′(x0)<0f″(x0)<0，函数f(x)f(x)在点x0x0处取得极大值
（2）当f′′(x0)>0f″(x0)>0，函数f(x)f(x)在点x0x0处取得极小值
○ 极值的判定法则（nn阶导）
设函数f(x)f(x)在x0x0处nn阶可导，且f′(x0)=f′′(x0)=⋯=f(n−1)(x0),f(n)(x0)≠0f′(x0)=f″(x0)=⋯=f(n−1)(x0),f(n)(x0)≠0，其中nn是偶数，则
（1）若f(n)(x0)<0f(n)(x0)<0，则x0x0是极大值点
（2）若f(n)(x0)>0f(n)(x0)>0，则x0x0是极小值点
○ 函数极值求解步骤
（1）求出导数f′(x)f′(x)
（2）求出f(x)f(x)的全部驻点和不可导点
（3）考察f′(x)f′(x)的符号在每个驻点和不可导点的左、右邻近的情形，判断是极小值还是极大值
（4）求出极值点的函数值
○ 函数最值求解步骤
f(x)f(x)在[a,b][a,b]上连续
（1）求出f(x)f(x)在(a,b)(a,b)内的驻点及不可导点
（2）计算f(x)f(x)在上述驻点、不可导点处的函数值及f(a),f(b)f(a),f(b)
（3）比较（2）中值的大小，其中最大的是f(x)f(x)在[a,b][a,b]上的最大值，最小的是f(x)f(x)在[a,b][a,b]上的最小值
• 曲率
○ 弧微分公式 ds=1+y′2−−−−−−√dxds=1+y′2dx
○ 曲率K=limΔs→0|ΔαΔs|K=limΔs→0|ΔαΔs|
（1）当曲线的方程为y=f(x)y=f(x)，则K=|y′′|(1+y′2)32K=|y″|(1+y′2)32
（2）当曲线的方程为参数方程x=φ(t),y=ψ(t)x=φ(t),y=ψ(t)构成，则K=|φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t)|[φ′2(t)+ψ′2(t)]32K=|φ′(t)ψ″(t)−φ″(t)ψ′(t)|[φ′2(t)+ψ′2(t)]32
○ 曲率半径，K=|dαds|=1aK=|dαds|=1a，互为倒数
• 渐近线
○ 水平渐近线：limx→∞y=A⟺y=Alimx→∞y=A⟺y=A是曲线y=y(x)y=y(x)的一条水平渐近线
○ 铅直渐近线：limx→x0y=∞⟺x=x0limx→x0y=∞⟺x=x0是曲线y=y(x)y=y(x)的一条铅直渐近线
○ 斜渐近线：limx→∞yx=k,limx→∞yx=k,且limx→∞(y−kx)=b⟺y=kx+blimx→∞(y−kx)=b⟺y=kx+b是曲线y=y(x)y=y(x)的一条斜渐近线
5. 不定积分
• 原函数
○ 定义
如果在区间II上，可导函数F(x)F(x)的导函数为f(x)f(x)，即对任意x∈Ix∈I，都有F′(x)=f(x)F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dxdF(x)=f(x)dx，那么函数F(x)F(x)就称为f(x)f(x)（或f(x)dxf(x)dx）在区间II上的一个原函数
○ 原函数存在定理
（1）如果函数f(x)f(x)在区间II上连续，那么在区间II上存在可导函数F(x)F(x)，使对任意x∈Ix∈I都有F′(x)=f(x)F′(x)=f(x)
（2）含有第一类间断点或无穷间断点的函数在包含该间断点在内的任何区间内都没有原函数
• 不定积分的定义
○ 在区间II上，函数f(x)f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)f(x)（或f(x)dxf(x)dx）在区间II上的不定积分，记做∫f(x)dx∫f(x)dx，其中∫∫称为积分号，f(x)f(x)称为被积函数，f(x)dxf(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量
○ 不定积分∫f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C可以表示f(x)f(x)的任意一个原函数
○ ∫dF(x)=F(x)+C∫dF(x)=F(x)+C，微分运算和积分运算是互逆的
• 不定积分的性质
○ 设函数f(x)f(x)及g(x)g(x)的原函数存在，则∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
○ 设函数f(x)f(x)的原函数存在，kk为非零常数，则∫kf(x)dx=k∫f(x)dx∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
• 换元积分法
○ 设f(u)f(u)具有原函数，u=φ(x)u=φ(x)可导，则有换元公式∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)
○ 设x=ψ(t)x=ψ(t)是单调的可导函数，并且ψ′(t)≠0ψ′(t)≠0.又设f[ψ(t)]ψ′(t)f[ψ(t)]ψ′(t)具有原函数，则∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=ψ−1(x)∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=ψ−1(x)，其中ψ−1(x)ψ−1(x)是x=ψ(t)x=ψ(t)的反函数
○ 常用的换元形式：
（1）三角换元：a2−x2−−−−−−√→x=asint,a2+x2−−−−−−√→x=atant,x2−a2−−−−−−√→x=asecta2−x2→x=asint,a2+x2→x=atant,x2−a2→x=asect
（2）整体换元：ax+b−−−−−√n=t,ax+bcx+d−−−−−−√n=tax+bn=t,ax+bcx+dn=t
（3）倒代换：分母次幂比分子高两次以上，1x=t1x=t
• 分部积分法
○ 分部积分公式 ∫udv=uv−∫vdu∫udv=uv−∫vdu
○ 分布积分选取u,dvu,dv的注意点
（1）vv要容易求得
（2）∫vdu∫vdu要比∫udv∫udv容易积出
（3）选取uu的顺序，反对幂三指
• 有理函数的积分
○ 有理函数的概念
两个多项式的商P(x)Q(x)P(x)Q(x)称为有理函数，又称有理分式，分子多项式P(x)P(x)的次数小于分母多项式Q(x)Q(x)的次数，称有理函数为真分式，否则称为假分式，假分式可以直接拆成部分分式之和，真分式需要设方程求解
○ 有理函数真分式的拆分
（1）Q(x)Q(x)的一次因式ax+bax+b产生Aax+bAax+b
（2）Q(x)Q(x)的kk重因式(ax+b)k(ax+b)k产生kk项，分别为A1ax+b+A2(ax+b)2+⋯+Ak(ax+b)kA1ax+b+A2(ax+b)2+⋯+Ak(ax+b)k
（3）Q(x)Q(x)的二次单因式px2+qx+rpx2+qx+r产生一项Ax+Bpx2+qx+rAx+Bpx2+qx+r
（4）Q(x)Q(x)的kk重二次单因式(px2+qx+r)k(px2+qx+r)k产生kk项A1x+B1px2+qx+r+A2x+B2(px2+qx+r)2+⋯+Akx+Bk(px2+qx+r)kA1x+B1px2+qx+r+A2x+B2(px2+qx+r)2+⋯+Akx+Bk(px2+qx+r)k
○ 有理函数真分式拆分的例子
如∫x+2(2x+1)(x2+x+1)dx=∫A2x+1+Bx+Dx2+x+1dx∫x+2(2x+1)(x2+x+1)dx=∫A2x+1+Bx+Dx2+x+1dx，其中形如∫ax+bx2+px+qdx,(p2−4q<0)∫ax+bx2+px+qdx,(p2−4q<0)这类的不定积分，可以使用待定系数∫C(x2+px+q)+Dx2+px+qdx∫C(x2+px+q)+Dx2+px+qdx确定C,DC,D的值，然后再求
• 三角有理式的积分
○ 万能代换：令u=tanx2u=tanx2则sinx=2u1+u2,cosx=1−u21+u2,dx=21+u2dusinx=2u1+u2,cosx=1−u21+u2,dx=21+u2du
○ 三角恒等变形：sin2x+cos2x=1,cos2x=2cos2x−1,sin2x=2sinxcosx,sinx=cos(π2−x)sin2x+cos2x=1,cos2x=2cos2x−1,sin2x=2sinxcosx,sinx=cos(π2−x)
○ 一般规律：R(sinx,cosx)=−R(−sinx,cosx)R(sinx,cosx)=−R(−sinx,cosx)凑dcosxdcosx，R(sinx,cosx)=−R(sinx,−cosx)R(sinx,cosx)=−R(sinx,−cosx)凑dsinxdsinx，R(sinx,cosx)=R(−sinx,−cosx)R(sinx,cosx)=R(−sinx,−cosx)凑dtanxdtanx
• 常用积分表

6. 定积分
   • 定积分基本概念
   ○ 设函数f(x)f(x)在[a,b][a,b]上有界，在[a,b][a,b]中任意插入若干个分点a=x0<x1<x2<...<xn−1<xn=ba=x0<x1<x2<...<xn−1<xn=b，把区间[a,b][a,b]分成nn个小区间[x0,x1],[x1,x2],...,[xn−1,xn][x0,x1],[x1,x2],...,[xn−1,xn]各个小区间的长度依次为，Δx1=x1−x0,Δx2=x2−x1,Δxn=xn−1−xnΔx1=x1−x0,Δx2=x2−x1,Δxn=xn−1−xn，在每个小区间[xi−1,xi][xi−1,xi]上任取一点ξi(xi−1≤ξi≤xi)ξi(xi−1≤ξi≤xi)，做函数值f(ξi)f(ξi)与小区间长度ΔxiΔxi的乘积，f(ξi)Δxi(i=1,2,...,n)f(ξi)Δxi(i=1,2,...,n)，并作出和S=∑ni=1f(ξi)ΔxiS=∑i=1nf(ξi)Δxi，记λ=max{Δx1,Δx2,...,Δxn}λ=max{Δx1,Δx2,...,Δxn}，如果当λ→0λ→0时，这和的极限总存在，且与闭区间[a,b][a,b]的分法及点ξiξi的取法无关，那么称这个极限II为函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上的定积分（简称积分），记做∫baf(x)dx∫abf(x)dx，即∫baf(x)dx=I=limλ→0∑ni=1f(ξi)Δxi∫abf(x)dx=I=limλ→0∑i=1nf(ξi)Δxi，其中f(x)f(x)称为被积函数，f(x)dxf(x)dx称为被积表达式，xx叫积分变量，aa叫积分下限，bb叫积分上限，[a,b][a,b]叫积分区间
   ○ 如果闭区间[a,b][a,b]等分，则∫baf(x)dx=limn→∞∑ni=1f(a+b−ani)b−an∫abf(x)dx=limn→∞∑i=1nf(a+b−ani)b−an
   ○ 定积分的几何意义：∫baf(x)dx∫abf(x)dx表示xx轴上方图形面积减去xx轴下方图形面积所得之差
   ○ 当b=ab=a时，∫baf(x)dx=0∫abf(x)dx=0
   ○ 当a>ba>b时，∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
   • 函数可积的条件
   ○ 设f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上连续，则f(x)f(x)在[a,b][a,b]上可积，并且积分函数F(x)=∫xaf(t)dtF(x)=∫axf(t)dt连续
   ○ 函数是否可积和有没有原函数无关
   ○ 设f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)f(x)在[a,b][a,b]上可积
   • 定积分的性质
   ○ 设αα与ββ均为常数，则∫ba[αf(x)+βg(x)]dx=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx
   ○ 设a<c<ba<c<b，则∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
   ○ ∫ba1dx=∫badx=b−a∫ab1dx=∫abdx=b−a
   ○ 如果在区间[a,b][a,b]上f(x)≥0f(x)≥0，那么∫baf(x)dx≥0(a<b)∫abf(x)dx≥0(a<b)
   （1）推论1：如果在区间[a,b][a,b]上f(x)≤g(x)f(x)≤g(x)，那么∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx(a<b)∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx(a<b)
   （2）推论2：|∫baf(x)dx|≤∫ba|f(x)|dx(a<b)|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx(a<b)
   ○ 设MM及mm分别是函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上的最大值和最小值，则m(b−a)≤∫baf(x)dx≤M(b−a)(a<b)m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)(a<b)
   ○ 定积分中值定理：如果函数f(x)f(x)在积分区间[a,b][a,b]上连续，那么在[a,b][a,b]上至少存在一个点ξξ，使下式成立：∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)(a≤ξ≤b)∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)(a≤ξ≤b). 利用牛顿-莱布尼兹公式和拉格朗日中值定理可以证明上述定理在开区间(a,b)(a,b)同样成立
   ○ 奇偶性
   （1）如果f(x)f(x)是奇函数，那么∫x0f(t)dt∫0xf(t)dt是偶函数
   （2）如果f(x)f(x)是偶函数，那么∫x0f(t)dt∫0xf(t)dt是奇函数
   • 微积分基本公式
   ○ 如果函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上连续，那么积分上限的函数Φ(x)=∫xaf(t)dtΦ(x)=∫axf(t)dt在[a,b][a,b]上可导，并且导数为Φ′(x)=ddx∫xaf(t)dt=f(x)(a≤x≤b)Φ′(x)=ddx∫axf(t)dt=f(x)(a≤x≤b)，被积函数f(t)f(t)中不含xx，如果含有xx需要采用换元求解
   ○ F(x)=∫ϕ2(x)ϕ1(x)f(t)dtF(x)=∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(t)dt，则F′(x)=f(ϕ2(x))ϕ′2(x)−f(ϕ1(x))ϕ′1(x)F′(x)=f(ϕ2(x))ϕ2′(x)−f(ϕ1(x))ϕ1′(x)
   ○ 如果函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上连续，那么函数Φ(x)=∫xaf(t)dtΦ(x)=∫axf(t)dt就是f(x)f(x)在[a,b][a,b]上的一个原函数
   ○ 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)F(x)是连续函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上的一个原函数，那么∫baf(x)dx=F(b)−F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
   • 定积分的求解方法
   ○ 定积分的换元法
   设函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上连续，函数x=φ(t)x=φ(t)满足条件：φ(α)=a,φ(β)=bφ(α)=a,φ(β)=b，φ(t)φ(t)在[α,β][α,β]（或[β,α][β,α]）上具有连续导数，且其值域Rφ=[a,b]Rφ=[a,b]，则有∫baf(x)dx=∫βαf[φ(t)]φ′(t)dt∫abf(x)dx=∫αβf[φ(t)]φ′(t)dt
   ○ 定积分的分部积分法，∫baudv=[uv]ba−∫bavdu∫abudv=[uv]ab−∫abvdu
   • 定积分求解的特色求法
   ○ 利用奇偶性
   （1）积分上下限关于原点对称，并且f(x)f(x)是奇函数，则积分为零
   （2）积分上下限关于原点对称，并且f(x)f(x)是偶函数，则积分为2∫a0f(x)dx2∫0af(x)dx
   ○ 利用周期性
   ∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx
   ○ 利用基本公式
   （1）∫π20sinnxdx=∫π20cosnxdx∫0π2sinnxdx=∫0π2cosnxdx当nn为正奇数，结果为n−1nn−3n−2⋯23n−1nn−3n−2⋯23，当nn为正偶数，结果为n−1nn−3n−2⋯12π2n−1nn−3n−2⋯12π2
   （2）∫π20f(sinx)dx=∫π20f(cosx)dx∫0π2f(sinx)dx=∫0π2f(cosx)dx
   （3）∫π0xf(sinx)dx=π2∫π0f(sinx)dx∫0πxf(sinx)dx=π2∫0πf(sinx)dx
   （4）∫10xm(1−x)ndx=∫10xn(1−x)mdx∫01xm(1−x)ndx=∫01xn(1−x)mdx
   （5）(∫baf(x)g(x)dx)2≤∫baf2(x)dx∫bag2(x)dx(∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx
   • 反常积分
   ○ 无穷限的反常积分
   （1）设函数f(x)f(x)在区间[a,+∞)[a,+∞)上连续，如果极限∫+∞af(x)dx=limt→+∞∫taf(x)dx∫a+∞f(x)dx=limt→+∞∫atf(x)dx存在，那么称反常积分∫+∞af(x)dx∫a+∞f(x)dx收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分发散
   （2）设函数f(x)f(x)在区间[−∞,b)[−∞,b)上连续，如果极限∫b−∞f(x)dx=limt→−∞∫btf(x)dx∫−∞bf(x)dx=limt→−∞∫tbf(x)dx存在，那么称反常积分∫b−∞f(x)dx∫−∞bf(x)dx收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分发散
   （3）设函数f(x)f(x)在区间(−∞,+∞)(−∞,+∞)上连续，如果反常积分∫0−∞f(x)dx∫−∞0f(x)dx与反常积分∫+∞0f(x)dx∫0+∞f(x)dx均收敛，那么称反常积分∫+∞−∞f(x)dx∫−∞+∞f(x)dx收敛，并称反常积分∫0−∞f(x)dx∫−∞0f(x)dx的值与反常积分∫+∞0f(x)dx∫0+∞f(x)dx的值之和为反常积分∫+∞−∞f(x)dx∫−∞+∞f(x)dx的值，否则就称反常积分∫+∞−∞f(x)dx∫−∞+∞f(x)dx发散
   ○ 无界函数的反常积分
   （1）设函数f(x)f(x)在区间(a,b](a,b]上连续，点aa为f(x)f(x)的瑕点（无界），如果极限∫baf(x)dx=limt→a+∫btf(x)dx∫abf(x)dx=limt→a+∫tbf(x)dx存在，那么称反常积分∫baf(x)dx∫abf(x)dx收敛，并称此极限为该反常积分的值，如果极限不存在，那么称反常积分∫baf(x)dx∫abf(x)dx发散
   （2）设函数f(x)f(x)在区间[a,b)[a,b)上连续，点bb为f(x)f(x)的瑕点（无界），如果极限∫baf(x)dx=limt→b−∫taf(x)dx∫abf(x)dx=limt→b−∫atf(x)dx存在，那么称反常积分∫baf(x)dx∫abf(x)dx收敛，并称此极限为该反常积分的值，如果极限不存在，那么称反常积分∫baf(x)dx∫abf(x)dx发散
   （3）设函数f(x)f(x)在区间[a,c)[a,c)和(c,b](c,b]上连续，点cc为f(x)f(x)的瑕点，如果反常积分∫caf(x)dx∫acf(x)dx与反常积分∫bcf(x)dx∫cbf(x)dx均收敛，那么称反常积分∫baf(x)dx∫abf(x)dx收敛，并称反常积分∫caf(x)dx∫acf(x)dx的值与反常积分∫bcf(x)dx∫cbf(x)dx的值之和为反常积分，∫baf(x)dx∫abf(x)dx的值，否则，就称反常积分∫baf(x)dx∫abf(x)dx发散
   ○ 基本结论：
   （1）∫+∞adxxp(a>0)∫a+∞dxxp(a>0)，当p>1p>1收敛，p≤1p≤1发散
   （2）∫abdx(x−a)p∫badx(x−a)p，当p<1p<1收敛，p≥1p≥1发散
   （3）如果∫+∞−∞f(x)dx∫−∞+∞f(x)dx存在，则当f(x)f(x)是奇函数为00，偶函数为2∫+∞0f(x)dx2∫0+∞f(x)dx
   （4）反常积分∫+∞2dxx(lnx)k∫2+∞dxx(lnx)k，当k>1k>1收敛，k≤1k≤1发散
   ○ 定积分敛散性的判断方法
   （1）直接计算法：如果被积函数原函数容易求得，则使用定义判断敛散性即可
   （2）设函数f(x)f(x)在区间[a,+∞)[a,+∞)上连续，且f(x)≥0f(x)≥0，如果存在常数p>1p>1，使得limx→+∞xpf(x)limx→+∞xpf(x)存在，那么反常积分∫+∞af(x)dx∫a+∞f(x)dx收敛；如果limx→+∞xf(x)=c>0limx→+∞xf(x)=c>0或者limx→+∞xf(x)=+∞limx→+∞xf(x)=+∞，那么反常积分∫+∞af(x)dx∫a+∞f(x)dx发散
   （3）设函数f(x)f(x)在区间(a,b](a,b]上连续，且f(x)≥0f(x)≥0，x=ax=a为f(x)f(x)的瑕点，如果存在常数0<q<10<q<1，使得limx→a+(x−a)qf(x)limx→a+(x−a)qf(x)存在，那么反常积分∫baf(x)dx∫abf(x)dx收敛；如果limx→a+(x−a)f(x)=d>0limx→a+(x−a)f(x)=d>0或者limx→a+(x−a)f(x)=+∞limx→a+(x−a)f(x)=+∞，那么反常积分∫baf(x)dx∫abf(x)dx发散
   • 定积分的应用
   ○ 平面图形的面积
   （1）曲线y=f(x)y=f(x)与y=g(x)y=g(x)（g(x)≥f(x)g(x)≥f(x)）及x=a,x=bx=a,x=b围成的平面图形的面积A=∫bag(x)−f(x)dxA=∫abg(x)−f(x)dx
   （2）极坐标曲线r=r(θ)r=r(θ)介于两射线θ=αθ=α与θ=βθ=β（0<β−α≤2π0<β−α≤2π）之间的曲边扇形的面积，dA=12[ρ(θ)]2dθ,A=12∫βαρ2(θ)dθdA=12[ρ(θ)]2dθ,A=12∫αβρ2(θ)dθ
   ○ 体积
   （1）旋转体体积：曲线y=f(x)y=f(x)与x=a,x=bx=a,x=b及xx轴围成的曲边梯形绕xx轴旋转一周而成的立体体积，dV=π[f(x)]2dx,V=∫baπ[f(x)]2dxdV=π[f(x)]2dx,V=∫abπ[f(x)]2dx
   （2）曲线y=f(x)y=f(x)与x=a,x=bx=a,x=b及xx轴围成的曲边梯形绕yy轴旋转一周而成的立体体积，dV=2πxf(x)dx,V=∫ba2πxf(x)dxdV=2πxf(x)dx,V=∫ab2πxf(x)dx
   （3）平行截面面积为已知的立体体积：截面A(x)A(x)表示过点xx且垂直于xx轴的截面面积，dV=A(x)dx,V=∫baA(x)dxdV=A(x)dx,V=∫abA(x)dx
   ○ 平面曲线的弧长
   （1）曲线弧由参数方程x=φ(t),y=ψ(t)x=φ(t),y=ψ(t)给出，则ds=(dx)2+(dy)2−−−−−−−−−−−√=φ′2(t)+ψ′2(t)−−−−−−−−−−−√dt,s=∫baφ′2(t)+ψ′2(t)−−−−−−−−−−−√dtds=(dx)2+(dy)2=φ′2(t)+ψ′2(t)dt,s=∫abφ′2(t)+ψ′2(t)dt
   （2）曲线弧由直角坐标方程y=f(x)y=f(x)给出，s=∫ba1+y′2−−−−−−√dxs=∫ab1+y′2dx
   （3）曲线弧由极坐标方程ρ=ρ(θ)ρ=ρ(θ)给出，可以转化成参数方程x=ρ(θ)cosθ,y=ρ(θ)sinθx=ρ(θ)cosθ,y=ρ(θ)sinθ则ds=ρ2(θ)+ρ′2(θ)−−−−−−−−−−−√dθds=ρ2(θ)+ρ′2(θ)dθ
   ○ 表面积
   曲线y=f(x)y=f(x)与x=a,x=bx=a,x=b及xx轴围成的曲边梯形绕xx轴旋转一周而成的立体的表面积dS=2πf(x)ds,S=∫ba2πf(x)1+f′(x)−−−−−−−√dxdS=2πf(x)ds,S=∫ab2πf(x)1+f′(x)dx
   ○ 常用曲线的图形

○ 函数的平均值
设x∈[a,b]x∈[a,b]，函数f(x)f(x)在[a,b][a,b]上的平均值为f¯¯¯=1b−a∫baf(x)dxf¯=1b−a∫abf(x)dx
7. 微分方程
• 基本概念
○ 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程
○ 未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶
○ 微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数和微分方程的阶数相同，这样的解称为通解
○ 根据初值条件确定了通解中的任意常数之后就得到微分方程的特解
• 可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dx的形式，那么原方程就称为可分离变量的微分方程
• 齐次方程
如果一阶微分方程可化为dydx=φ(yx)dydx=φ(yx)的形式，那么就称这方程为齐次方程，令u=yxu=yx带入方程得，duφ(u)−u=dxxduφ(u)−u=dxx
• 一阶线性微分方程
（1）方程dydx+P(x)y=Q(x)dydx+P(x)y=Q(x)叫做一阶线性微分方程，如果Q(x)=0Q(x)=0那么方程称为齐次的，否则称为非齐次的
（2）套用公式求解：因为e∫P(x)dxy′+P(x)ye∫P(x)dx=Q(x)e∫P(x)dx=(e∫P(x)dxy)′e∫P(x)dxy′+P(x)ye∫P(x)dx=Q(x)e∫P(x)dx=(e∫P(x)dxy)′，所以y=e−∫P(x)dx[∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C]y=e−∫P(x)dx[∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C]
• 可降阶的高阶微分方程
○ y(n)=f(x)y(n)=f(x)型的微分方程，对xx反复积分即可，nn阶方程就有nn个参数
○ y′′=f(x,y′)y″=f(x,y′)型的微分方程，设y′=py′=p，则dpdx=f(x,p)dpdx=f(x,p)
○ y′′=f(y,y′)y″=f(y,y′)型的微分方程，设y′=py′=p，则y′′=dpdx=dpdy∙dydx=pdpdy=f(y,p)y″=dpdx=dpdy∙dydx=pdpdy=f(y,p)
• 高阶线性微分方程
○ 二阶线性微分方程
方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)叫做二阶线性微分方程，当f(x)=0f(x)=0时，方程叫做齐次的，否则叫做非齐次的
○ 二阶齐次线性微分方程
（1）如果函数y1(x)y1(x)与y2(x)y2(x)是方程的两个解，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程的解，其中C1,C2C1,C2是任意常数
（2）设y1(x),y2(x),...,yn(x)y1(x),y2(x),...,yn(x)为定义在区间II上的nn个函数，如果存在nn个不全为零的常数k1,k2,...,knk1,k2,...,kn，使得当x∈Ix∈I时有恒等式k1y1+k2y2+...+knyn=0k1y1+k2y2+...+knyn=0成立，那么称这n个函数在区间II上线性相关，否则线性无关
（3）如果y1(x)y1(x)与y2(x)y2(x)是方程的两个线性无关的特解，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的特解，C1,C2C1,C2是任意常数
（4）如果y1(x),y2(x),...,yn(x)y1(x),y2(x),...,yn(x)是nn阶齐次线性方程y(n)+a1(x)yn−1+...+an−1(x)y′+an(x)y=0y(n)+a1(x)yn−1+...+an−1(x)y′+an(x)y=0，的n个线性无关的解，那么此方程的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+...+Cnyn(x)y=C1y1(x)+C2y2(x)+...+Cnyn(x)，其中C1,C2,...,CnC1,C2,...,Cn都是常数
○ 二阶非齐次线性微分方程
（1）设y∗(x)y∗(x)是二阶非齐次线性方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的一个特解，Y(x)Y(x)是对应齐次方程的通解，则y=Y(x)+y∗(x)y=Y(x)+y∗(x)
（2）设非齐次线性方程的右端f(x)f(x)是两个函数之和，即y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x)y″+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x)，而y∗1(x),y∗2(x)y1∗(x),y2∗(x)分别是方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)y″+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)和y′′+P(x)y′+Q(x)y=f2(x)y″+P(x)y′+Q(x)y=f2(x)的特解，则y∗1(x)+y∗2(x)y1∗(x)+y2∗(x)就是原方程的特解
• 常系数齐次线性微分方程
○ y′′+py′+qy=0y″+py′+qy=0，其中p,qp,q是常数，则称方程为二阶常系数齐次线性微分方程，如果p,qp,q不全为常数，称为二阶变系数齐次线性微分方程
○ 设y=erxy=erx，代入上式(r2+pr+q)erx=0(r2+pr+q)erx=0，则r2+pr+q=0r2+pr+q=0叫做微分方程的特征方程，特征方程的两根r1,2=−p±p2−4q−−−−−−√2r1,2=−p±p2−4q2，有如下三种情形
（1）当p2−4q>0p2−4q>0时，r1=−p+p2−4q−−−−−−√2,r2=−p−p2−4q−−−−−−√2r1=−p+p2−4q2,r2=−p−p2−4q2，得微分方程的通解为y=C1er1x+C2er2xy=C1er1x+C2er2x
（2）当p2−4q=0p2−4q=0时，r1=r2=−p2r1=r2=−p2，得微分方程的通解为y=(C1+C2x)er1xy=(C1+C2x)er1x
（3）当p2−4q<0p2−4q<0时，r1,r2r1,r2是一对共轭复根r1=α+βi,r2=α−βir1=α+βi,r2=α−βi其中α=−p2,β=4q−p2−−−−−−√2α=−p2,β=4q−p22，得微分方程的通解为y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
• 常系数非齐次线性微分方程
方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)其中f(x)f(x)不为零，求特解的方法如下
○ 若f(x)=Pn(x)eaxf(x)=Pn(x)eax，方程特解为y∗=eaxQn(x)xky∗=eaxQn(x)xk，其中Qn(x)Qn(x)是xx的nn次一般多项式，如二次一般多项式ax2+bx+cax2+bx+c
（1）aa不是特征方程的根，kk取00
（2）aa是特征方程的单根，kk取11
（3）aa是特征方程的重根，kk取22
○ 若f(x)=eax[Pm(x)cosβx+Pn(x)sinβx]f(x)=eax[Pm(x)cosβx+Pn(x)sinβx]，方程的特解为y∗=xkeax[R(1)l(x)cosβx+R(2)l(x)sinβx]y∗=xkeax[Rl(1)(x)cosβx+Rl(2)(x)sinβx]，其中R(1)l(x),R(2)l(x)Rl(1)(x),Rl(2)(x)是ll次一般多项式，l=max{m,n}l=max{m,n}
（1）a±βia±βi不是特征方程的根，kk取00
（2）a±βia±βi是特征方程的根，kk取11
8. 多元函数微分法及其应用
• 基本概念
○ 平面点领域
（1）设P0(x0,y0)P0(x0,y0)是xOyxOy平面上的一个点，δδ是某个正数，与点P0(x0,y0)P0(x0,y0)距离小于δδ的点P(x,y)P(x,y)的全体，称为点P0P0的δδ邻域，记作U(P0,δ)U(P0,δ)，即U(P0,δ)={P||PP0|<δ}U(P0,δ)={P||PP0|<δ}去心邻域记作，U˚(P0,δ)={P|0<|PP0|<δ}U˚(P0,δ)={P|0<|PP0|<δ}
（2）内点：点PP的邻域U(P)⊂EU(P)⊂E，那么称PP为EE的内点
（3）外点：点PP的邻域U(P)∩E=∅U(P)∩E=∅，那么称PP为EE的外点
（4）边界点：点PP的邻域U(P)U(P)，既含有EE的点又含有EE之外的点，那么称PP为EE的边界点
（5）聚点：任意δ>0δ>0，点PP的邻域U˚(P0,δ)U˚(P0,δ)内总有EE的点，那么称PP为EE的聚点
（6）开集：点集EE的点都是EE的内点
（7）闭集：点集EE的边界在EE的内部
（8）连通集：点集EE内任意两点的连线都在EE的内部
（9）区域：连通的开集
（10）闭区域：连通的闭集
（11）有界集：存在rr使得E⊂U(O,r)E⊂U(O,r)成立，OO是原点
（12）无界集：不是有界集
○ 多元函数的概念
设DD是R2R2的一个非空子集，称映射f:D→Rf:D→R为定义在DD上的二元函数，通常记为z=f(x,y),(x,y)∈Dz=f(x,y),(x,y)∈D，其中，点集DD称为函数的定义域，x,yx,y称为自变量，zz称为因变量
○ 多元函数的极限（二重极限）
（1）设二元函数f(p)=f(x,y)f(p)=f(x,y)的定义域DD，P0(x0,y0)P0(x0,y0)是DD的聚点，如果存在常数AA，对于任意给定的正数εε，使得当点P(x,y)∈D∩U˚(P0,δ)P(x,y)∈D∩U˚(P0,δ)时，都有|f(P)−A|=|f(x,y)−A|<ε|f(P)−A|=|f(x,y)−A|<ε成立，那么就称常数AA为函数f(x,y)f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)(x,y)→(x0,y0)时的极限，记做lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=Alim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A
（2）当点P(x,y)P(x,y)以不同的方式趋于P0(x0,y0)P0(x0,y0)时，f(x,y)f(x,y)趋于不同的值，那么极限不存在
○ 多元函数的连续性
（1）设二元函数f(P)=f(x,y)f(P)=f(x,y)的定义域为DD，P0(x0,y0)P0(x0,y0)为DD的聚点，且P0∈DP0∈D，如果lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)，那么称函数f(x,y)f(x,y)在点P0(x0,y0)P0(x0,y0)连续
（2）如果函数f(x,y)f(x,y)在DD上每一点都连续，则称为DD上的连续函数
（3）设函数f(x,y)f(x,y)的定义域为DD，P0(x0,y0)P0(x0,y0)是DD的聚点，如果函数f(x,y)f(x,y)在点P0(x0,y0)P0(x0,y0)不连续，那么称P0(x0,y0)P0(x0,y0)为函数f(x,y)f(x,y)的间断点
○ 有界闭区间上连续的多元函数的性质
（1）有界性与最大值最小值定理：在有界闭区域DD上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值
（2）介值定理：在有界闭区域DD上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值
• 偏导数
○ 定义
（1）设函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x0,y0)的某一邻域内有定义，当yy固定在y0y0而xx在x0x0处有增量ΔxΔx时，相应的函数有增量f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)，如果limΔx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)ΔxlimΔx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx存在，那么称此极限为函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x0,y0)处对xx的偏导数，记作∂z∂x|x=x0,y=y0,∂f∂x|x=x0,y=y0,zx|x=x0,y=y0,fx(x0,y0)∂z∂x|x=x0,y=y0,∂f∂x|x=x0,y=y0,zx|x=x0,y=y0,fx(x0,y0)
（2）如果在区域DD每一点(x,y)(x,y)都有xx偏导数，这个函数称z=f(x,y)z=f(x,y)为xx的偏导函数，记作∂z∂x,∂f∂x,zx,fx(x,y)∂z∂x,∂f∂x,zx,fx(x,y)
○ 几何意义
（1）设M0(x0,y0,f(x0,y0))M0(x0,y0,f(x0,y0))为曲面z=f(x,y)z=f(x,y)上的一点，过M0M0做平面y=y0y=y0截得一曲线，则偏导数fx(x0,y0)fx(x0,y0)就是曲线在点M0M0处的切线对xx轴的斜率
（2）各偏导数存在不能保证函数在该点连续
○ 二阶偏导数
（1）∂∂x(∂z∂x)=∂2z∂x2=fxx(x,y)∂∂x(∂z∂x)=∂2z∂x2=fxx(x,y)
（2）∂∂y(∂z∂x)=∂2z∂x∂y=fxy(x,y)∂∂y(∂z∂x)=∂2z∂x∂y=fxy(x,y)
（3）∂∂x(∂z∂y)=∂2z∂y∂x=fyx(x,y)∂∂x(∂z∂y)=∂2z∂y∂x=fyx(x,y)
（4）∂∂y(∂z∂y)=∂2z∂y2=fyy(x,y)∂∂y(∂z∂y)=∂2z∂y2=fyy(x,y)
（5）如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数∂2z∂x∂y,∂2z∂y∂x∂2z∂x∂y,∂2z∂y∂x在区域DD内连续，那么它们在该区域内相等
• 全微分
○ 定义
（1）设函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)的某邻域内有定义，如果函数在点(x,y)(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)，可表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A,BA,B不依赖于Δx,ΔyΔx,Δy而仅与x,yx,y有关，ρ=(Δx)2+(Δy)2−−−−−−−−−−−−√ρ=(Δx)2+(Δy)2，那么称函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)可微分，而AΔx+BΔyAΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)的全微分，记做dzdz，即dz=AΔx+BΔydz=AΔx+BΔy
（2）如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)可微分，那么函数在该点必连续
○ 可微必要条件
（1）如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)可微分，那么该函数在点(x,y)(x,y)的偏导数∂z∂x∂z∂x与∂z∂y∂z∂y必定存在，且函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)的全微分为dz=∂z∂xΔx+∂z∂yΔydz=∂z∂xΔx+∂z∂yΔy，习惯上写成dz=∂z∂xdx+∂z∂ydydz=∂z∂xdx+∂z∂ydy
（2）各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件
○ 可微充分条件
如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)的偏导数∂z∂x,∂z∂y∂z∂x,∂z∂y在点(x,y)(x,y)连续，那么函数在该点可微分
○ 判断函数是否可微的步骤
（1）函数偏导数不存在则不可微
（2）检查极限limΔx→0,Δy→0f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)−f′x(x0,y0)Δx−f′y(x0,y0)Δy(Δx)2+(Δy)2−−−−−−−−−−−−√=0limΔx→0,Δy→0f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)−fx′(x0,y0)Δx−fy′(x0,y0)Δy(Δx)2+(Δy)2=0也就是limx→x0,y→y0f(x,y)−f(x0,y0)−f′x(x0,y0)(x−x0)−f′y(x0,y0)(y−y0)(x−x0)2+(y−y0)2−−−−−−−−−−−−−−−−√=0limx→x0,y→y0f(x,y)−f(x0,y0)−fx′(x0,y0)(x−x0)−fy′(x0,y0)(y−y0)(x−x0)2+(y−y0)2=0
○ 全微分形式不变形
设函数z=f(u,v)z=f(u,v)具有连续偏导数，则有全微分dz=∂z∂udu+∂z∂vdvdz=∂z∂udu+∂z∂vdv
○ 可导，可微，连续的关系

• 多元复合函数的求导法则
	○ 一元函数与多元函数复合
如果函数u=φ(t),v=ψ(t)u=φ(t),v=ψ(t)都在点tt可导，函数z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)具有连续偏导数，那么复合函数z=f[φ(t),ψ(t)]z=f[φ(t),ψ(t)]在点tt可导，且有dzdt=∂z∂ududt+∂z∂vdvdtdzdt=∂z∂ududt+∂z∂vdvdt
○ 多元函数与多元函数复合
如果函数u=φ(x,y),v=ψ(x,y)u=φ(x,y),v=ψ(x,y)都在点(x,y)(x,y)具有对xx及对yy的偏导数，函数z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)具有连续偏导数，那么复合函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点(x,y)(x,y)的两个偏导数都存在，且有∂z∂x=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x,∂z∂y=∂z∂u∂u∂y+∂z∂v∂v∂y∂z∂x=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x,∂z∂y=∂z∂u∂u∂y+∂z∂v∂v∂y
○ 其他情形
如果函数u=φ(x,y)u=φ(x,y)，在点(x,y)(x,y)具有对xx及对yy的偏导数，函数v=ψ(y)v=ψ(y)在点yy可导，函数z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)具有连续偏导数，那么复合函数z=f[φ(x,y),ψ(y)]z=f[φ(x,y),ψ(y)]在点(x,y)(x,y)的两个偏导数都存在，且有∂z∂x=∂z∂u∂u∂x,∂z∂y=∂z∂u∂u∂y+∂z∂vdvdy∂z∂x=∂z∂u∂u∂x,∂z∂y=∂z∂u∂u∂y+∂z∂vdvdy
• 隐函数的求导公式
○ 二元方程确定一元函数
设函数F(x,y)F(x,y)在点P(x0,y0)P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0，则方程F(x,y)=0F(x,y)=0在点(x0,y0)(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)y=f(x)，它满足条件y0=f(x0)y0=f(x0)，并有dydx=−FxFydydx=−FxFy
○ 三元方程确定二元函数
设函数F(x,y,z)F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0，则方程F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数，z=f(x,y)z=f(x,y)，它满足条件z0=f(x0,y0)z0=f(x0,y0)，并有∂z∂x=−FxFz,∂z∂y=−FyFz∂z∂x=−FxFz,∂z∂y=−FyFz
○ 注意点
如果对隐函数直接求导，注意因变量与求导的自变量有关系，如果利用上述公式，变量的地位等同
• 多元函数的极值及其求法
○ 多元函数的极值
设函数z=f(x,y)z=f(x,y)的定义域为DD，P0(x0,y0)P0(x0,y0)为DD的内点，若存在P0P0的某个邻域U(P0)⊂DU(P0)⊂D，使得对于该邻域内异于P0P0的任何点(x,y)(x,y)，都有f(x,y)<f(x0,y0)f(x,y)<f(x0,y0)，则称为函数f(x,y)f(x,y)在点(x0,y0)(x0,y0)有极大值f(x0,y0)f(x0,y0)，如果f(x,y)>f(x0,y0)f(x,y)>f(x0,y0)则为极小值
○ 极值存在的必要条件
（1）设函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)(x0,y0)处有极值，则有fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0
（2）凡是能使fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0同时成立的点，称为驻点
○ 充分条件
设函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0，令fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=Cfxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C则f(x,y)f(x,y)在(x0,y0)(x0,y0)处是否取极值的条件如下
（1）AC−B2>0AC−B2>0时具有极值，且当A<0A<0时具有极大值，A>0A>0时具有极小值
（2）AC−B2<0AC−B2<0时没有极值
（3）AC−B2=0AC−B2=0时可能有极值也可能没有
○ 求极值的步骤
（1）解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0fx(x,y)=0,fy(x,y)=0，求得驻点
（2）求每一个驻点的fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=cfxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=c
（3）判断AC−B2AC−B2的符号
（4）偏导数不存在的点也可能是极值点
○ 条件极值（拉格朗日乘数法）
（1）求函数z=f(x,y)z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0φ(x,y)=0下的可能极值点，先构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)，可以得出如下方程组

⎧⎩⎨Lx=fx(x,y)+λφx(x,y)=0,Ly=fy(x,y)+λφy(x,y)=0,Lλ=φ(x,y)=0{Lx=fx(x,y)+λφx(x,y)=0,Ly=fy(x,y)+λφy(x,y)=0,Lλ=φ(x,y)=0
解出x,y,λx,y,λ，求出的(x,y)(x,y)就是函数的可能极值点，从而求得最值
（2）如果有多个附加条件，如函数u=f(x,y,z,t)u=f(x,y,z,t)，附加条件φ(x,y,z,t)=0,ψ(x,y,z,t)=0φ(x,y,z,t)=0,ψ(x,y,z,t)=0，设拉格朗日函数L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+λφ(x,y,z,t)+μψ(x,y,z,t)L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+λφ(x,y,z,t)+μψ(x,y,z,t)
○ 求一个区域最值的步骤
（1）求区域内的驻点
（2）求边界点的可能极值点，利用拉格朗日乘数法
（3）比较上面两种点的大小
9. 二重积分
• 基本概念
（1）设f(x,y)f(x,y)是有界闭区域DD上的有界函数，将闭区域DD任意分成nn个小闭区域Δσ1,Δσ2,...,ΔσnΔσ1,Δσ2,...,Δσn，其中ΔσiΔσi表示第ii个小闭区域，也表示它的面积。在每个ΔσiΔσi上任取一点(ξi,ηi)(ξi,ηi)，作乘积f(ξi,ηi)Δσif(ξi,ηi)Δσi，并作和∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi，如果当各小闭区域的直径中的最大值λ→0λ→0时，这和的极限总存在，且与闭区域DD的分法及点(ξi,ηi)(ξi,ηi)的取法无关，那么称此极限为函数f(x,y)f(x,y)在闭区域DD上的二重积分，记做∬Df(x,y)dσ=limλ→0∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi=∬Df(x,y)dxdy∬Df(x,y)dσ=limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi=∬Df(x,y)dxdy，其中f(x,y)f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)dσf(x,y)dσ叫做被积表达式，dσdσ叫做面积元素
（2）二重积分∬Df(x,y)dxdy∬Df(x,y)dxdy的几何意义：区域DD为底，曲面z=f(x,y)z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积
• 二重积分的性质
○ 设α,βα,β为常数，则∬D[αf(x,y)+βg(x,y)]dσ=α∬Df(x,y)dσ+β∬Dg(x,y)dσ∬D[αf(x,y)+βg(x,y)]dσ=α∬Df(x,y)dσ+β∬Dg(x,y)dσ
○ 如果闭区域DD被有限条曲线分成有限个部分闭区域，那么在DD上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和∬Df(x,y)dσ=∬D1f(x,y)dσ+∬D2f(x,y)dσ∬Df(x,y)dσ=∬D1f(x,y)dσ+∬D2f(x,y)dσ
○ 如果在DD上，f(x,y)=1f(x,y)=1，σσ为DD的面积，那么σ=∬D1dσ=∬Ddσσ=∬D1dσ=∬Ddσ
○ 如果在DD上，f(x,y)≤g(x,y)f(x,y)≤g(x,y)，那么有∬Df(x,y)dσ≤∬Dg(x,y)dσ∬Df(x,y)dσ≤∬Dg(x,y)dσ，又有|∬Df(x,y)dσ|≤∬D|f(x,y)|dσ|∬Df(x,y)dσ|≤∬D|f(x,y)|dσ
○ 设MM和mm分别是f(x,y)f(x,y)在闭区域DD上的最大值和最小值，σσ是DD的面积，则有mσ≤∬Df(x,y)dσ≤Mσmσ≤∬Df(x,y)dσ≤Mσ
○ 设函数f(x,y)f(x,y)在闭区域DD上连续，σσ是DD的面积，则在DD上至少存在一点(ξ,η)(ξ,η)，使得∬Df(x,y)dσ=f(ξ,η)σ∬Df(x,y)dσ=f(ξ,η)σ
• 二重积分的对称性
○ 闭区域DD关于yy轴对称，若f(x,y)=f(−x,y)f(x,y)=f(−x,y)则∬Df(x,y)dσ=2∬D1f(x,y)dσ∬Df(x,y)dσ=2∬D1f(x,y)dσ，如果f(x,y)=−f(−x,y)f(x,y)=−f(−x,y)则∬Df(x,y)dσ=0∬Df(x,y)dσ=0
○ 闭区域DD关于xx轴对称，若f(x,y)=f(x,−y)f(x,y)=f(x,−y)则∬Df(x,y)dσ=2∬D1f(x,y)dσ∬Df(x,y)dσ=2∬D1f(x,y)dσ，如果f(x,y)=−f(x,−y)f(x,y)=−f(x,−y)则∬Df(x,y)dσ=0∬Df(x,y)dσ=0
○ 闭区域DD关于y=xy=x轴对称，则∬Df(x,y)dσ=∬Df(y,x)dσ∬Df(x,y)dσ=∬Df(y,x)dσ
• 二重积分的计算
○ 直角坐标下的计算
（1）XX型积分区域（做xx轴垂直的线，与积分上下限只有两个交点），∬Df(x,y)dσ=∫ba[∫φ2(x)φ1(x)f(x,y)dy]dx=∫badx∫φ2(x)φ1(x)f(x,y)dy∬Df(x,y)dσ=∫ab[∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy]dx=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy
（2）YY型积分区域（做yy轴垂直的线，与积分上下限只有两个交点），∬Df(x,y)dσ=∫ba[∫φ2(x)φ1(x)f(x,y)dx]dy=∫bady∫φ2(x)φ1(x)f(x,y)dx∬Df(x,y)dσ=∫ab[∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dx]dy=∫abdy∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dx
○ 极坐标下的计算
（1）∬Df(x,y)dxdy=∬Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=∫βα[∫φ2(θ)φ1(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ]dθ∬Df(x,y)dxdy=∬Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=∫αβ[∫φ1(θ)φ2(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ]dθ
（2）σ=∬Dρdρdθ=∫βαdθ∫φ2(θ)φ1(θ)ρdρ=12∫βα[φ22(θ)−φ21(θ)]dθσ=∬Dρdρdθ=∫αβdθ∫φ1(θ)φ2(θ)ρdρ=12∫αβ[φ22(θ)−φ12(θ)]dθ
• 二重积分的应用
○ 曲面的面积
（1）把曲面投影到xOyxOy面上，dA=dσcosγ=1+f2x(x,y)+f2y(x,y)−−−−−−−−−−−−−−−−−√dσdA=dσcosγ=1+fx2(x,y)+fy2(x,y)dσ
（2）把曲面投影到yOzyOz面上，dA=dσcosγ=1+f2y(x,y)+f2z(x,y)−−−−−−−−−−−−−−−−−√dσdA=dσcosγ=1+fy2(x,y)+fz2(x,y)dσ
（3）把曲面投影到zOxzOx面上，dA=dσcosγ=1+f2z(x,y)+f2x(x,y)−−−−−−−−−−−−−−−−−√dσdA=dσcosγ=1+fz2(x,y)+fx2(x,y)dσ
○ 质心
面密度μ(x,y)μ(x,y)，则质心公式为x¯¯¯=∬Dxμ(x,y)dσ∬Dμ(x,y)dσ,y¯¯¯=∬Dyμ(x,y)dσ∬Dμ(x,y)dσx¯=∬Dxμ(x,y)dσ∬Dμ(x,y)dσ,y¯=∬Dyμ(x,y)dσ∬Dμ(x,y)dσ
○ 形心
（1）如果面密度μ(x,y)μ(x,y)为常数，则此时的质心为形心，则x¯¯¯=1A∬Dxdσ,y¯¯¯=1A∬Dydσx¯=1A∬Dxdσ,y¯=1A∬Dydσ
（2）由此可以得出求∬Dxdσ=Ax¯¯¯,∬Dydσ=Ay¯¯¯∬Dxdσ=Ax¯,∬Dydσ=Ay¯
10. 零散知识点
• 12+22+...+n2=16n(n+1)(2n+1)12+22+...+n2=16n(n+1)(2n+1)
• 若f(x)f(x)在[−a,a][−a,a]上连续且为偶函数，则∫a−af(x)dx=2∫a0f(x)dx∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx
• 若f(x)f(x)在[−a,a][−a,a]上连续且为奇函数，则∫a−af(x)dx=0∫−aaf(x)dx=0
• max(f(x),g(x))=f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|2max(f(x),g(x))=f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|2
• min(f(x),g(x))=f(x)+g(x)−|f(x)−g(x)|2min(f(x),g(x))=f(x)+g(x)−|f(x)−g(x)|2
• a+b2≥ab−−√a+b+c3≥abc−−−√3a+b2≥aba+b+c3≥abc3
• x1+x<ln(1+x)<x(x>0)x1+x<ln(1+x)<x(x>0)
• sinx<x<tanx(0<x<π2)sinx<x<tanx(0<x<π2)
• ∀α,β>0,a>1,n→∞⇒lnαn<nβ<an<n!<nn∀α,β>0,a>1,n→∞⇒lnαn<nβ<an<n!<nn
• 球的体积V=43πR3V=43πR3，球的面积S=4πR2S=4πR2
• limx→0+xlnx=0→limx→0+xx=1limx→0+xlnx=0→limx→0+xx=1
• x3−1=(x−1)(x2+x+1)x3−1=(x−1)(x2+x+1)
• 如果f(x)f(x)在一个区间内有三个点相等，根据罗尔定理有f′′(x)=0f″(x)=0
• 功dw=Fdsdw=Fds
• 水压力dP=ρghdAdP=ρghdA
• 引力F=Gm1m2r2F=Gm1m2r2
• sinx+cosx=2–√sin(x+π4)sinx+cosx=2sin(x+π4)
• sinx−cosx=2–√sin(x−π4)sinx−cosx=2sin(x−π4)
• limn→∞an1+an2+⋯+anm−−−−−−−−−−−−−−−√n=max{a1,a2,⋯,am}(ai>0)limn→∞a1n+a2n+⋯+amnn=max{a1,a2,⋯,am}(ai>0)
• 函数f(x)f(x)在区间[−a,a][−a,a]上连续，则∫a−af(x)dx=∫a0[f(x)+f(−x)]dx∫−aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(−x)]dx
• 数学归纳法的步骤
○ 第一类数学归纳法
（1）证明当n=1n=1时命题成立
（2）假设当n=kn=k时命题成立，证明n=k+1n=k+1命题成立
（3）由上述步骤可知命题成立
○ 第二类数学归纳法
（1）证明当n=1,n=2n=1,n=2时命题成立
（2）假设当n<kn<k时命题成立，证明当n=kn=k命题成立
（3）由上述步骤可知命题成立
• (a+b)n=C0na0bn+C1na1bn−1+⋯++Cnnanb0